Azonosságok

,, valós számok,,, pozitív egészek.

Bizonyítása:

Az -ből darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az szorzótényezőket, és a szorzótényezőket egymás mellé írva n darab szorzótényező, és darab szorzótényező van. Az darab szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy , a darab szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy , tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.

A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.

az azt jelenti, hogy [-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban darab szorzótényező van, amely formában is felírható, a nevezőben darab szorzótényező van, amely formában írható.

Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.

Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.

bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.

Ez az azonosság azt jelenti, hogy az -t -szor szorozzuk össze: [-szor] Az -t felírhatjuk úgy is: . Tehát, összesen -szor van ilyen csoportunk, tehát darab -t szorzunk össze:

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.