Hasonlóság bizonyítása

Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló gúlát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gúla térfogatának aránya pedig k^3!

A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gúla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.

A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.

Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.