Bizonyítsuk be, hogy gyökkettő irracionális

A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a racionális, vagyis felírható alakba, ahol a , és a egész számok, és tegyük fel, hogy a , és relatív prímek, azaz a tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.

Emeljük négyzete az egyenlet mindkét oldalát, majd szorozzunk be -tel.

Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy nem csak a páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a alakú, akkor a az alakú. Ezt beírva az “eredeti” egyenletünkbe:

Egyszerűsítünk 2-vel:

Ekkor viszont is páros, amiből következik, hogy q is az. Tehát p és q nem relatív prímek.

Ellentmondásra jutottunk, a kiinduló feltétel hibás, azaz irracionális.