A koszinusztétel

2008. február 3., vasárnap | Kinyomtatom! | Letöltöm PDF-ben | Kedvencekbe teszem | Elküldöm emailben

1.ábra

Ha egy háromszög oldalai a, b és c, a c oldallal szemközti szöge $\gamma$ , akkor a háromszögre érvényes a következő összefüggés:

$c^2 = a^2 + b^2 – 2 a b \cos \gamma$

A koszinusztétel segítségével kiszámolható két oldal és közbe zárt szög segítségével a háromszög harmadik oldala, valamint a háromszög oldalainak függvényében a háromszög szögei.

Bizonyítás:

Használjuk az 2.ábra jelöléseit!

Nyilvánvaló, hogy

2. ábra

$\vec{c} = \vec{a} – \vec{b}$

Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát (szorozzuk önmagával skalárisan)!

${\vec{c}} \cdot {\vec{c}} = ( \vec{a} – \vec{b} )\cdot ( \vec{a} – \vec{b} ) = {\vec{a} \cdot {\vec{a}}} + {\vec{b} \cdot \vec{b}} – 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ (Kihasználtuk, hogy a skaláris szorzás disztributív!)